Tahák pro matematiku signálů I/Q | Poznámky programátora

K detekci hrubých chyb měření chemici často používají tzv. metodu Q-kritéria. Název metody je známý všem, takže ne každý ví, že zbytek světa toto kritérium nazývá Dixonovo kritérium.
Uvažujme postup výpočtu. Nejprve se experimentální data seřadí vzestupně podle jejich velikosti. Poté se pro každou sousední dvojici výsledků měření vypočítají hodnoty Q-kritéria:

kde
x_i, X_{i + 1} – výsledky sousedních měření.
R je rozsah variace, tj. rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou.

Pokud Q < Q_tab , pak výsledek měření zůstává, kde Q_tab – tabulkové (referenční) hodnoty kritéria.
Pokud Q > Q_tab, pak se výsledek nebere v úvahu.

HODNOTY Q-KRITÉRIA
Počet definic
Pravděpodobnost spolehlivosti

Lidé se často ptají, kde sehnat tabulky pro počet dimenzí větší než 10. Odpověď je jednoduchá – nikde. Faktem je, že u velkých datových polí se mění samotný postup výpočtu Q-kritéria. (Pokud vás toto téma velmi zajímá, přečtěte si studijní literaturu o Dixonově kritériu.)

Uveďme příklad kontroly datového pole na hrubé chyby. Nechť pro titraci jsou použity následující objemy titračního činidla: 15,25; 15,23; 15,00; 15,24 ml.
Vypočítejme Q pro všechny naměřené hodnoty s ohledem na R = 15.25 – 15.00 = 0.25. Výsledky výpočtu uvedeme do tabulky:

Tabulková hodnota kritéria pro 4 měření s hladinou spolehlivosti 0,95 je rovna Q_tab=0,85. Jedna z vypočítaných hodnot kritéria překračuje tabulkovou hodnotu, takže lze vyloučit jednu experimentální hodnotu: 15.00 ml. Všimněte si, že se jedná o počáteční hodnotu v řadě čísel seřazených vzestupně podle velikosti. Jinou situaci si lze představit, když se vypočítaná hodnota Q-kritéria nachází na konci řady. V tomto případě je logické vyloučit z následných výpočtů poslední hodnotu objemu titrantu.

Je však snadné si představit méně jasnou situaci, kdy se největší hodnota kritéria nenachází na hranici řady, ale nedaleko od hranice.
Uveďme příklad. Nechť pro titraci použijí následující objemy titračního činidla: 15,25; 15,01; 15,00; 15,24 ml.
Vypočítáme hodnoty Q-kritéria v tomto případě.

Tento případ vás nutí k zamyšlení. Jakou hodnotu objemu titrantu je třeba z výpočtu vyloučit? Vyloučení jedné hodnoty vás v této situaci nezachrání. Z této situace existují dvě východiska. Prvním je neprovádět analýzu hrubých chyb. Druhým východiskem je pokračovat ve sběru řady experimentálních dat v naději, že se problém sám vyřeší.

Existuje i jiné řešení situace, ale je použitelné pouze pro velké pole dat. Řekněme, že máme 10 výsledků měření. Při výpočtu hodnot Q-kritéria se ukázalo, že nejvyšší hodnota kritéria se nenachází na samém okraji řady, ale nedaleko od tohoto okraje. Pak můžete vyloučit ne jednu hodnotu výsledku analýzy, ale několik v řadě, až do místa, kde je splněna podmínka Q-kritéria. Data by měla být odstraněna z blízkého okraje řady.
Zde je však třeba znát míru. Tímto způsobem lze z dalších statistických výpočtů vyloučit polovinu dat, což ztratí smysl výpočtů.

Závěrem je nutné zmínit, že pokud není splněna podmínka kritéria pro hodnoty, které se nacházejí uprostřed řady, může to znamenat systematickou chybu měření. V tomto případě je nutné přijmout další rozhodující opatření a pochopit zdroje chyb.

Každý, kdo se někdy pokusil číst knihy o SDR a DSP, se pravděpodobně setkal se vzorci s komplexními čísly, záhadnými spirálami v trojrozměrném prostoru a některými zápornými frekvencemi. Autoři se často nechají unést matematickými vzorci, což ztěžuje pochopení toho, co se děje a jak to souvisí s fyzickým světem. Zkusme to všechno přijít na to.

Rád bych zdůraznil, že si nedělám nárok na to, abych byl vynikající matematik. Všechno, co je napsáno níže, není nic víc než mé amatérské chápání aplikované na jednu konkrétní oblast, která mě zajímá, a to rádio. Pokud jste seriózní matematik a v textu najdete chyby, neváhejte mě o nich informovat.

Následující ilustrace byly převzaty z 8. kapitoly knihy Pochopení digitálního zpracování signálu, 3. vydání od Richarda Lyonse. Je to velmi dobrá kniha. Pokud se o digitální zpracování signálu vážně zajímáte, měli byste si přečíst celou knihu.

Zde máme grafické znázornění komplexního čísla 2.5 + j2. Můžeme si ho představit buď jako bod v dvourozměrném prostoru, nebo jako vektor spojující počátek souřadnic s tímto bodem. Analogie s vektorem je libovolná. Zejména součin vektorů nemá nic společného se součinem komplexních čísel.

Otázkou je, co je j neboli imaginární jednotka? Je to taková abstraktní věc, jejíž násobení vede k otočení vektoru (nebo bodu) v komplexní rovině o 90°:

Zde je výsledek vynásobení reálného čísla 8 imaginární jednotkou. První násobení nám dává:

. což je skutečně rotace o 90°. Druhé násobení:

Z poslední rovnice vyplývá, že j je druhá odmocnina z -1. Tato definice je však spíše matoucí než užitečná. Podobně vynásobení číslem -j znamená otočení o -90°.

Díky práci barona Fouriera víme, že jakýkoli časopis Funkci lze rozvinout do řady trigonometrických funkcí. Dnes takový rozvoj nazýváme spektrum signál. Před Fourierem byla existence jakéhokoli spektra zcela nezřejmá. Dnes ji však radioamatéři berou jako samozřejmost.

Mezi goniometrickými funkcemi a komplexní exponenciálou existuje zásadní spojení:

Toto je Eulerův vzorec. Lze jej dokázat rozložením funkcí do Taylorovy řady:

Díky Eulerově vzorci lze sinus a kosinus vyjádřit pomocí komplexních exponenciál. Což je ve skutečnosti reprezentace těchto funkcí v konkrétním oboru. S touto znalostí lze pochopit práci Hilbertovy transformace. Tato problematika však již přesahuje rámec tohoto příspěvku.

Uvažujme případ, kdy na komplexní rovině není jen bod, ale časově proměnný signál. Proto budeme potřebovat další osu – časovou osu. Graf se pak stane trojrozměrným:

Zde f je kmitočet kmitů v hertzích. Podívejme se blíže na výsledný obrázek. Připomíná vám něco?

Ano, jedná se o signály v fázi (I) a kvadraturní (Q) fázi na výstupu kvadraturního demodulátoru. A aby se dosáhlo kruhu, je třeba signály přivést do osciloskopu v režimu XY.

Ve skutečnosti se v kvadraturním demodulátoru děje toto komplexní násobení k heterodynnímu signálu. Pro ověření se podívejte na strukturní schéma kvadraturního demodulátoru a poté na Eulerův vzorec.

Zajímavost: Vynásobení počátečního signálu e j²πf Vynásobení heterodynním signálem e j2πft je ekvivalentní posunu signálu f hertz nahoru. Vynásobení e −j2πft je ekvivalentní jeho posunu dolů.

To lze snadno ověřit, pokud si vzpomeneme, že při násobení mocnin se stejným základem se exponenty sčítají. Výsledkem je „ideální směšovač“. Místo součtu a rozdílu dvou frekvencí, jako v jednoduchém směšovači, dává buď pouze součet, nebo pouze rozdíl, podle toho, co chceme.

S těmito informacemi můžeme pochopit, jak Fourierova transformace funguje:

V něm je původní signál x(t) vynásoben e −j2πft , což posune danou frekvenci f na 0 Hz. Výsledný signál x′(t) je poté integrován v čase od −∞ do +∞. Protože je signál periodický, integrace dává nulu ve smyslu průměrování přes nekonečný počet period plus konstantní složku. Právě jsme tam posunuli f. Což dává odezvu na dané frekvenci.

Bystrý čtenář si možná všiml, že ve vzorci e −j2πft máme najednou zápornou frekvenci. Na první pohled se záporné frekvence zdají hloupé. Koneckonců, co je −1 Hz? Tento koncept však není o nic složitější než záporná reálná čísla obecně.

Nikdo nikdy neviděl -2 jablka nebo -100 rublů, ale v dnešní době záporná čísla málokdy někoho trápí. Mimochodem, ne vždy tomu tak bylo. Fyzikální význam -100 rublů závisí na kontextu. Může to znamenat, že jsme si půjčili peníze, nebo že za nulu byl vzat nějaký jiný referenční bod. Například cena produktu je považována za nulu. Znaménko mínus pak znamená, že produkt byl prodán pod cenou, tj. se ztrátou.

Totéž platí pro záporné frekvence. V příkladu kvadraturního směšovače máme frekvenci lokálního oscilátoru, kterou lze považovat za nulu. Pak se vše, co je ve spektru níže, stane zápornou frekvencí a vše, co je výše, stane kladnou frekvencí. Abyste to konečně viděli, doporučuji podívat se na graf se spirálou a zamyslet se nad tím, co se stane, když nahradíte f za −f. Nezapomeňte, že kosinus je sudá funkce a sinus lichá. To znamená, že cos(−x) = cos(x), sin(−x) = −sin(x).

Ale ve Fourierově transformaci mají záporné frekvence jiný význam. Sinus a kosinus jsou definovány pro kladné i záporné argumenty. Když rozložíme funkci na frekvenční složky, nemáme objektivní důvod se domnívat, že obsahuje cos(+ωt), ale ne cos(−ωt), nebo naopak. Dostaneme tedy odezvu na kladných i záporných frekvencích.

Nakonec bych rád zdůraznil, že signály v fázi a kvadratuře jsou jeden signál. Chceme mít v tomto signálu jen o něco více informací než jen závislost amplitudy na čase. Z tohoto důvodu se objeví další rozměr a obvyklé sinusy a kosiny se stanou spirálami.

Svůj komentář mi můžete poslat e-mailem, nebo použít komentáře ve skupině Telegram.