Lohy s proporcionálním dělením – Dokument 1 – UchMet

Pokud jsou první dva podrobně popsány v akademické literatuře a dobře se procvičují na velkém počtu problémů, pak třetí se v mnoha učebnicích prakticky nedotýkáme. V učebnicích lze nalézt pouze ojedinělé problémy s využitím proporcionálního dělení. Závěrečné zkoušky posledních let nás však donutily věnovat pozornost důkladnějšímu a serióznějšímu studiu problémů s proporcionálním dělením. Je také nutné poznamenat, že proporcionální závislost veličin je nejjednodušším typem funkční závislosti, což je propeudektika studia pojmu funkce v 7. ročníku.

Studium problémů s proporcionálním dělením lze provádět ve volitelném kurzu; klubu; volitelných předmětech; v rozvrhu hodin lze přidělit několik hodin, ale je to nutné, protože to výrazně zjednodušuje řešení jakýchkoli textových úloh, ve kterých jsou uvedeny vztahy veličin.

I. Přímo úměrné dělení:

Dva dělníci si dohromady vydělali 12 500 rublů, jeden pracoval 4 dny a druhý 6 dní, jak by si měli vydělané peníze rozdělit?

V procesu ústní diskuse se nejprve zjistí, že jsou dané hodnoty – výdělek a pracovní doba každého pracovníka. Jaký je vztah mezi těmito hodnotami – přímo úměrný vztah?

Pracovník I si musí vzít 4 takové části celkového výdělku, z nichž pracovník II si vezme 6, tj. výdělek I se k výdělku II vztahuje v poměru 4:6. Pokud označíme

výdělek prvního pracovníka

výdělek druhého pracovníka

Můžeme zapsat: 4:6 = 2:3, odkud

Úloha tohoto typu se nazývá úloha přímo úměrného dělení nebo dělení v tomto poměru.

Dále bychom se měli zabývat problémem dělení čísla přímo úměrného třem nebo více číslům:

2 výzva.

Pro přípravu zelné polévky z čerstvého zelí vezměte maso, čerstvé zelí, rajčata a olej v poměru 25:25:10:2. Kolik těchto produktů byste měli spotřebovat, pokud jste snědli 300 gramů masa?

V takových úlohách je pohodlnější označit koeficient úměrnosti (nebo hodnotu jedné části) takto

25 x (g.) – zelí

25 x (g.) – maso

10 x (g.) – rajče

2х (g.) – olej, je smyslné, že si vzali 300 (g.) nebo 25 masaх (g.), proto

Výpočtem koeficientu můžete zjistit hmotnost každého produktu:

25*16 = 300 (g) – zelí

16*10 = 160 (g) – rajče

16*2 = 32 (g) – máslo

Číselná řada, kterou jsme úměrně dělili, se ne vždy skládá z celých čísel; nejčastěji se jedná o zlomková čísla, takže u zlomkových vztahů je vhodné zlomky vynechat.

Žáruvzdorné sklo obsahuje oxid křemičitý, vápno a potaš v poměru 9:1,7:1,3. Určete hmotnost baňky vyrobené z tohoto skla, pokud obsahuje o 42,5 g oxidu křemičitého více než potaše.

Oxid křemičitý: vápno: potaš = 9: 1,7: 1,3 = 90: 17:13

X je koeficient úměrnosti, pak

90 X – oxid křemičitý

Je známo, že oxidu křemičitého je o 38,5 (g) neboli (90 X – 13 X) (g) více než potaše, což znamená

Klobása váží: 90 X + 17 X + 13 X = 120 X => 120*5 = 600 (g)

Odpověď: 600 gramů

Rozdělte 38 hrušek na tři části tak, aby:

Není možné zapsat vztahy ve formě jediné řady, protože v první a druhé relaci v části II jsou vyjádřeny různými čísly, takže se nejprve zbavíme zlomků:

A pak transformujeme vztahy tak, aby v obou řádcích části II byly výrazy se stejným číslem, nejlépe s nejmenším, tj. toto je NSN (1:15)=15,

Z I: II: III=32:15:105.

X je koeficient úměrnosti, pak:

32 X – XNUMX díl hrušek

15 X – II. díl hrušek

105 X – III. díl hrušek

Celkem 38 hrušek neboli 32 X + 105 X; odkud:

Úkoly pro samostatné řešení.

1. Pro přípravu střelného prachu vezměte ledek, síru a uhlí, přičemž hmotnost ledku se vztahuje k hmotnosti síry v poměru 6:1. Hmotnost uhlí se rovná hmotnosti síry.

Kolik střelného prachu získáte, když vezmete 12 kg uhlí?

2. Doba od vyklíčení semen do zrání nejranějších odrůd melounu, vodního melounu, rajčat a okurek se vztahuje v poměru 1,75:2,5:2:1, přičemž vodní melouny dozrávají o 30 dní později než melouny. Určete vegetační období každé z uvedených plodin.

3. Strany trojúhelníku jsou vztaženy v poměru 3,5 : 4,25 : 5,75. Druhá strana je o 12 cm delší než první. Určete obvod trojúhelníku.

4. Součet tří rozměrů obdélníkového rovnoběžnostěnu je 2,91 m. Délka se vztahuje k šířce jako 7:5 a poměr šířky k výšce je 1,2. Určete objem.

5. Rozdělte zlato na tři části tak, aby hmotnosti jejich částí byly v poměru = 0,04:0,2 = 1.5:2

6. K výrobě porcelánu se používá hlína, sádra a písek v poměru 6,25:0,25:0,5. Kolik váží porcelánový hrnek, pokud obsahuje o 184 g více hlíny než písku?

7. Délka roku na Merkuru souvisí s délkou roku na Venuši jako 11:28 a rok na Venuši je 7 dní. O kolik dní je rok na Merkuru kratší než na Zemi?

8. Délka života smrku obecného a lípy obecné se vzájemně dotýká v poměru 0,6:0,5 a délka života lípy a šípku se dožívá v poměru 5:2. Jaká je délka života každé z těchto rostlin, pokud je známo, že lípa se dožívá o 600 let déle než šípek?

9. Poměr průměrné tepové frekvence za minutu pro slona, člověka a vrabce je vyjádřen vztahem 1:1:4, přičemž vrabec má o 48 stahů více než člověk. Jaká je průměrná tepová frekvence za minutu pro slona, člověka a vrabce zvlášť?

10. K zakrytí poškození stromů použijte směs kalafuny, včelího vosku a sádla v poměru 4:2:1. Kolik těchto látek je třeba odebrat k přípravě 5,6 kg směsi?

11. Tužka na psaní na sklo se vyrábí ze stearinu, hovězího loje, vosku a červeného tuhého tuhého, které se berou v daném poměru. Kolik každé látky je třeba vzít k přípravě 3,8 kg tužek?

12. Za obry v živočišné říši jsou považováni modrá velryba, žralok, hroznýš anakonda a krokodýl mořský, jejichž délky se vztahují v poměru 7:3,3, 2,2:2, 18,5:XNUMX a velryba je o XNUMX m delší než žralok. Jaká je délka každého z těchto obrů?

13. Lovecký střelný prach se skládá z ledku, síry a uhlí. Hmotnost ledku se k hmotnosti síry vztahuje v poměru 19:2 a hmotnost uhlí je součástí hmotnosti ledku a síry dohromady. Kolik je ho potřeba?

vzít ledek, síru a uhlí, aby se získalo 10,5 kg střelného prachu?

14. Délka Dunaje se vztahuje k délce Dněpru jako : 5 a délka Donu se vztahuje k délce Dunaje jako 6,5 : 9,5. Určete délku každé řeky, pokud je Dněpr o 300 km delší než Don.

II Dělení čísla na části nepřímo úměrné daným číslům.

Nepřímo úměrné dělení

Vydělte číslo 200 nepřímo úměrně 3 a 5.

Jiná formulace požadavku: vydělte 200 v poměru inverzním k 3 a 5, tj. v prvním z požadovaných čísel by mělo být pět takových částí, z nichž ve druhém jsou tři.

Takže: X1 : X2 = 5 : 3

Vydělte číslo 130 nepřímo úměrně 2, 3 a 4.

X 1 : X 2 = 3 : 2 = 6 : 4

Je možné redukovat nepřímo úměrné dělení na přímo úměrné dělení,

tj. pojďme k jedné sérii vztahů

X1 : X2 : X3 = 6 : 4 : 3, z čehož:

Dělení 680 inverzně

X1 : X2 = = 3 : 2 = 15 : 10

X1 : X2 : = 15 : 10 : 9, odkud

X1 = 300; X2 = 200; X3 = 180.

K řešení takových úloh můžete přistupovat odlišně. Například 4:5 je poměr čísel a inverzní poměr je 5:4, přičemž 5:4 = , tj. inverzní poměr dvou čísel se rovná poměru inverzních čísel k daným.

Například 420 děleno inverzně 3, 5 a 6

X 1 : X 2 = 5 : 3 = 10 : 6

X 1 : X 2 : X 3 = 10 : 6 : 5

Pokud je ale 420 děleno přímo úměrně, pak

X 1 : X 2 : X 3 = = 10 : 6 : 5

tj. výsledek výpočtu bude stejný, tj.

420 rozděleno 420 rozděleno

nepřímo úměrný přímo úměrný

Místo nepřímo úměrného dělení danými čísly dělíme přímo převrácenými hodnotami těchto čísel. Výsledek je stejný.

Můžeme formulovat pravidlo: Abychom číslo vydělili nepřímo úměrné daným číslům, stačí ho vydělit přímo úměrným převráceným číslům.

Úloha 4. Jeden dělník splní normu za 6 hodin, druhý za 5 hodin a třetí za 4,5 hodiny. Společně vyrobili 795 dílů. Kolik dílů vyrobil každý dělník?

Pracovní doba je nepřímo úměrná počtu vyrobených dílů.

— počet dílů vyrobených prvním pracovníkem

— počet dílů vyrobených druhým pracovníkem

— počet dílů vyrobených třetím pracovníkem

Odpověď: 225 dílů, 270 dílů, 300 dílů.

Úkoly pro samostatné řešení:

1. První atlet uběhne 100 m za 12 sekund a druhý za 13 sekund. Kolik metrů uběhne každý z atletů, než se setkají, pokud je vzdálenost mezi nimi 200 m a začnou běžet současně?

2. Množství etylalkoholu získaného z 1 tuny cukrové řepy, 1 tuny brambor a 1 tuny obilí se vztahuje v poměru 1:1,4:3,5. Do závodu bylo dodáno celkem 3542 XNUMX tun cukrové řepy, brambor a obilí, ze kterých bylo získáno stejné množství alkoholu. Kolik cukrové řepy, brambor a obilí bylo do závodu dodáno samostatně?

3. Tři farmy utratily 6 200 000 rublů za stavbu mostu a tuto částku nepřímo úměrně vydělily vzdálenosti farem k mostu. Určete náklady každé farmy na stavbu mostu, pokud se první nachází 2 km od mostu, druhá 3 km a třetí 5 km?

4. První mlýn dokáže namlít obilí za 4 dny, druhý stejné množství za 7,5 dne a třetí za 8 dní. Jak rozdělit 124 tun obilí mezi tyto mlýny tak, aby začaly a dokončily mletí obilí současně?

III Složité pravidlo tří.

Problémy se složitější proporcionální závislostí, jakmile byly vyřešeny problémy na základě komplexního trojitého pravidla, například:

Na železnici pracovaly dva týmy, jeden s 15 lidmi a druhý s 12 lidmi. První tým pracoval 18 dní a druhý 25 dní. První tým vydělal 97200 XNUMX rublů. Kolik peněz vydělal druhý tým?

Zde již existují tři hodnoty: pracovní doba, počet pracovníků a náklady na vykonanou práci, přičemž náklady na práci jsou přímo úměrné pracovní době a počtu pracovníků. Tento problém můžete krok za krokem vyřešit kladením vhodných otázek a zapisováním odpovědí.