Kresba parket ze stejných obdélníků

Parkety (neboli mozaika) je nekonečná rodina mnohoúhelníků pokrývajících rovinu bez mezer nebo dvojitých krytin. Někdy je parketa pokrytím roviny s pravidelnými mnohoúhelníky, ve kterých dva mnohoúhelníky mají buď společnou stranu, společný vrchol, nebo vůbec žádné společné body; ale budeme uvažovat jak pravidelné, tak nepravidelné mnohoúhelníky.
Takže, jaké polygony lze použít k dlaždicím letadla?

Parkety ze stejných pravidelných mnohoúhelníků

Součet všech úhlů n-úhelníku je 180°(n-2). Všechny úhly pravidelného mnohoúhelníku jsou stejné; proto je každý z nich roven 180°(n-2)/n. V každém vrcholu parkety se setkává celočíselný počet úhlů; proto číslo 2·180° musí být celočíselný násobek 180°(n-2)/n. Převedeme poměr těchto čísel:

Rozdíl n-2 může nabývat pouze hodnot 1, 2 nebo 4; proto se n může rovnat pouze 3, 4 nebo 6. To znamená, že je možné získat parkety složené z pravidelných trojúhelníků, čtverců nebo pravidelných šestiúhelníků.

Parkety vyrobené z různých pravidelných mnohoúhelníků

Nejprve zjistíme, kolik různých pravidelných mnohoúhelníků (se stejnými délkami stran) může být kolem každého bodu. Úhel pravidelného mnohoúhelníku musí být v rozsahu od 60° do 180° (bez); proto počet polygonů umístěných v blízkosti bodu musí být větší než 2 (360°/180°) a nesmí překročit 6 (360°/60°).

Lze ukázat, že existují následující způsoby pokládání parket pomocí kombinací pravidelných mnohoúhelníků: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) – dvě možnosti parket; (3,4,4,6) – čtyři možnosti; (3,3,3,4,4) – čtyři možnosti; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (čísla v závorkách jsou označení polygonů sbíhajících se v každém vrcholu: 3 – pravidelný trojúhelník, 4 – čtverec, 6 – pravidelný šestiúhelník, 12 – pravidelný dvanáctiúhelník). Některé možnosti parket jsou zobrazeny na následujících obrázcích:

Pro jiné varianty parket, stejně jako důkaz, že neexistují jiné varianty pokládky parket z pravidelných mnohoúhelníků (za předpokladu, že libovolné dva mnohoúhelníky v parketách mají buď společnou stranu, nebo společný vrchol, nebo nemají vůbec žádné společné body) , viz další články.

Parkety z nepravidelných mnohoúhelníků

Je snadné pokrýt rovinu rovnoběžníky:

Obecně platí, že rovinu můžete uspořádat kopiemi libovolného čtyřúhelníku, který nemusí být nutně konvexní:

Parketu můžete vytvořit z kopií libovolného trojúhelníku: ze dvou stejných trojúhelníků můžete složit rovnoběžník a pokrýt rovinu kopiemi tohoto rovnoběžníku.

Rovina může být také pokryta kopiemi středově symetrického šestiúhelníku, nebo kopiemi pětiúhelníku se dvěma rovnoběžnými stranami. Dosud nebyly nalezeny všechny typy konvexních pětiúhelníků, ze kterých se vyrábí parkety. Ale byla prokázána věta, která říká: „Nemůžete vyrobit parketovou podlahu z kopií konvexního sedmiúhelníku.“ Zároveň jsou zde parkety z nekonvexních sedmiúhelníků:

Parkety libovolných tvarů

Některé definice parket nejsou omezeny na mnohoúhelníky; v tomto případě je parketa pokrytí roviny bez mezer nebo přesahů s danými tvary (v konkrétním případě mnohoúhelníky, pravidelné nebo nepravidelné, konvexní nebo nekonvexní). V tomto případě ani u parket z mnohoúhelníků nemusí být splněn požadavek „dva mnohoúhelníky musí mít společný vrchol, společnou stranu nebo vůbec žádné společné body“; Kromě toho se objevuje mnoho různých parketových podlah, které se neskládají z mnohoúhelníků, ale z křivočarých obrazců. Podívejme se na způsoby, jak postavit nové parkety založené na této „rozšířené“ definici. Jak tedy nakreslit parkety? (některé z možných způsobů)

Metoda jedna. Vezmeme nějakou síť (nám již známou parketu) – z pravidelných trojúhelníků, šestiúhelníků, čtverců nebo z libovolných mnohoúhelníků a provedeme transformace: stlačení/natažení, nahrazení přímých segmentů křivkami se začátkem a koncem ve stejných bodech jako segmenty .
Příklad: parketové podlahy získané nahrazením částí „čtvercového“ rastru některými křivkami nebo přerušovanými čarami.

Metoda dva. Kombinujeme jednotlivé prvky stávajících parketových podlah. Příklady: parketové podlahy získané kombinací prvků čtvercové sítě:

Parkety, jejichž každý prvek je získán kombinací pěti pravidelných trojúhelníků:

Metoda třetí. Vezmeme stávající mřížku a přidáme do ní nové čáry. Dostaneme rozdělení roviny na figury, které lze následně novým způsobem kombinovat. V konkrétním případě na sebe navrstvíme dvě (nebo více) ok již známých parket, přičemž jednu síť vůči druhé posouváme nebo otočíme; Obrazce vytvořené při protínání čar jsou považovány za parketové prvky.
Příklad (rozdělení mřížky řeckých křížů):

Metoda čtvrtá. Vybereme nějakou křivku nebo přerušovanou čáru a začneme ji přenášet do nějakého vektoru, otáčet ji a odrážet. Výsledné křivky nebo lomené čáry položíme na rovinu tak, aby tvořily uzavřené obrysy (které budeme dále považovat za parketové prvky). Pokud vezmeme v úvahu pouze otevřené křivky a přerušované čáry, budou se parkety podobat těm, které byly získány metodou č. 1.
Pro získání další parkety byl odebrán spirálový oblouk, třikrát otočený o 90° a poté byl na výsledný obrazec aplikován paralelní posun.

A zde jsou parkety získané paralelním přenosem hvězdicových polygonů:

Spojením vrcholů hvězdicových mnohoúhelníků získáme parketové podlahy složené z pravidelných osmiúhelníků, rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků a také nekonvexních 16úhelníků připomínajících kříž. Na prvním obrázku je ještě jeden prvek – konvexní čtyřúhelník.

Cíl: podrobně prostudovat parketové podlahy z mnohoúhelníků, pravidelných mnohoúhelníků a libovolných obrazců. Hypotéza: počet parketových podlah z pravidelných mnohoúhelníků je nekonečný.

• Hlavní
• Matematika
• Geometrické parkety