Jak zjistit délku oblouku kružnice se znalostí poloměru a změřit?
Definice Obvod je soubor všech bodů v rovině, které jsou ve stejné vzdálenosti od daného bodu О, který se nazývá střed kruhu.
Definice Jednotkový kruh — kruh, jehož poloměr je roven jedné.
Definice Kruh – část roviny ohraničená kružnicí.
Definice Poloměr kruhu R — vzdálenost od středu kruhu О do libovolného bodu na kruhu.
Definice Průměr kruhu D – úsečka, která spojuje dva body na kružnici a prochází jejím středem.
Základní vlastnosti kružnice
1. Průměr kruhu se rovná dvěma poloměrům.
2. Nejkratší vzdálenost od středu kruhu k sečně (tetivě) je vždy menší než poloměr.
3. Prostřednictvím tří bodů, které neleží na stejné přímce, lze nakreslit pouze jednu kružnici.
4. Mezi všemi uzavřenými křivkami se stejnou délkou má kruh největší plochu.
5. Pokud se dvě kružnice dotýkají v jednom bodě, pak tento bod leží na přímce, která prochází středy těchto kružnic.
Vzorce pro obvod a plochu kruhu
Vzorce pro obvod
1. Vzorec pro obvodový průměr:
2. Vzorec pro obvod přes poloměr:
Vzorce pro oblast kruhu
1. Vzorec pro oblast kruhu přes poloměr:
2. Vzorec pro oblast kruhu z hlediska průměru:
Rovnice kruhu
1. Rovnice kružnice s poloměrem r a středem v počátku kartézského souřadnicového systému:
2. Rovnice kružnice o poloměru r a středem v bodě se souřadnicemi (a, b) v kartézském souřadnicovém systému:
r2 = (x – a) 2 + ( y – b) 2
3. Parametrická rovnice kružnice o poloměru r a středem v bodě se souřadnicemi (a, b) v kartézském souřadnicovém systému:
| x = a + r cos t | |
| y = b + r sin t |
Tečna kružnice a její vlastnosti
Definice Tangenta kružnice – přímka, která se dotýká kružnice pouze v jednom bodě.
Základní vlastnosti tečen ke kružnici
1. Tečna je vždy kolmá k poloměru kružnice nakreslené v bodě dotyku.
2. Nejkratší vzdálenost od středu kružnice k tečně se rovná poloměru kružnice.
3. Pokud dvě tečny s body dotyku B a C na jedné kružnici nejsou rovnoběžné, pak se protínají v bodě A a úsečka mezi bodem dotyku a průsečíkem jedné tečny je rovna stejné úsečce na druhé tečně:
Pokud také nakreslíte přímku středem kružnice O a průsečíkem A těchto tečen, pak budou úhly vytvořené mezi touto přímkou a tečnami stejné:
Sekans kruhu a jeho vlastnosti
Definice Kruhová sečna – přímka, která prochází dvěma body na kružnici.
Základní vlastnosti sečen
1. Vycházejí-li z bodu mimo kružnici (Q) dvě sečny, které kružnici protínají ve dvou bodech A a B pro jednu sečnu a C a D pro druhou sečnu, pak jsou součiny úseček dvou sečn stejné k sobě navzájem:
2. Vybíhá-li z bodu Q mimo kružnici sečna, která kružnici protíná ve dvou bodech A a B, a tečna s bodem dotyku C, pak se součin sečnic rovná druhé mocnině délky. tečného segmentu:
Tětiva kružnice, její délka a vlastnosti
Definice Akord kruhu – segment, který spojuje dva body na kružnici.
Délka akordu
1. Délka tětivy přes středový úhel a poloměr:
AB = 2 r sin α 2
2. Délka tětivy přes vepsaný úhel a poloměr:
Základní vlastnosti akordů
1. Dva stejné tětivy tvoří dva stejné oblouky:
pokud akordy AB = CD, pak
2. Pokud jsou tětivy rovnoběžné, pak budou oblouky mezi nimi stejné:
pokud akordy AB ∣∣ CD, pak
3. Je-li poloměr kružnice kolmý k tětivě, pak tětivu v místě jejich průsečíku rozděluje na poloviny:
4. Pokud se dva tětivy AB a CD protínají v bodě Q, pak součin úseček, které vznikly v průsečíku jednoho tětivy, se rovná součinu úseček druhého tětivy:
5. Tetivy stejné délky jsou ve stejné vzdálenosti od středu kruhu.
pokud akordy AB = CD, pak
6. Čím větší je tětiva, tím blíže je ke středu.
Středový úhel, vepsaný úhel a jejich vlastnosti
Definice Středový úhel kruhu – úhel, jehož vrchol je středem kružnice.
Definice Úhel vepsaný do kruhu – úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany kružnici protínají.
Základní vlastnosti úhlů
1. Všechny vepsané úhly, které spočívají na jednom oblouku, jsou stejné.
2. Vepsaný úhel, který spočívá na průměru, bude pravý (90°).
3. Vepsaný úhel je roven polovině středového úhlu, který vychází ze stejného oblouku
4. Jestliže dva vepsané úhly spočívají na jedné tětivě a jsou umístěny na jejích různých stranách, pak je součet těchto úhlů roven 180°.
Definice Oblouk kruhu (◡) je část kružnice, která spojuje dva body na kružnici.
Definice Stupňová míra oblouku – úhel mezi dvěma poloměry, které omezují tento oblouk. Míra stupně oblouku je vždy stejná jako míra stupně středového úhlu, který omezuje tento oblouk na jeho strany.
Vzorec délky oblouku přes středový úhel (ve stupních):
Definice půlkruh – oblouk, ve kterém jsou konce spojeny průměrem kruhu.
Definice Půlkruh ( ◓ ) – část kruhu, která je omezena půlkruhem a průměrem.
Definice Sektor ( ◔ ) je část kružnice, která je omezena dvěma poloměry a obloukem mezi těmito poloměry.
Vzorec. Oblastní sektorový vzorec přes středový úhel (ve stupních)
S = π r 2 360° ∙ α
Definice Segment – část kružnice, která je ohraničena obloukem a tětivou, která spojuje její konce.
Definice Soustředné kruhy – kružnice s různými poloměry, které mají společný střed.
Poloměr и délka oblouku – to jsou dva důležité pojmy v geometrii. Délka kruhového oblouku je součástí celkového obvodu a k jejímu nalezení potřebujete poloměr a míru oblouku. Pamatujte, že poloměr je vzdálenost od středu kruhu k libovolnému bodu na něm a míra stupně oblouku je úhel, měřený ve stupních, mezi koncovými body oblouku a středem kruhu.
Při práci s kruhovými oblouky je často nutné najít jejich délku. K tomu můžete použít vzorec pro výpočet délky kruhového oblouku. Vzorec vypadá takto:
L = (2πr * α) / 360,
kde L je délka oblouku kruhu, π – matematická konstanta přibližně rovna 3,14, r – obvod poloměru, α – míra stupně oblouku.
Nyní, když znáte vzorec, můžete snadno vypočítat délku kruhového oblouku se známým poloměrem a mírou stupně oblouku. Stačí zapojit hodnoty do vzorce a získat výsledek. Pamatujte, že délka oblouku bude vždy vyjádřena ve stejných jednotkách jako poloměr kružnice.
Jak zjistit délku kruhového oblouku
Délku kruhového oblouku lze vypočítat pomocí vzorce, který je založen na poloměru a míře míry oblouku. Tento vzorec umožňuje určit, jak velký obvod zabírá daný oblouk.
- Ujistěte se, že znáte poloměr kružnice a stupeň oblouku.
- Převeďte míru stupně oblouku na radiány vynásobením π a dělením 180.
- Pro výpočet délky kruhového oblouku použijte vzorec: Délka oblouku = poloměr * míra oblouku v radiánech.
Pokud je například poloměr kruhu 3 cm a míra stupně oblouku je 90 stupňů, bude délka oblouku rovna:
Délka oblouku = 3 cm * (90 * π / 180) = 3 cm * (π / 2) = 4.71 cm.
Nyní víte, jak zjistit délku kruhového oblouku se známým poloměrem a mírou stupně oblouku. To může být užitečné při řešení různých geometrických problémů, jako je výpočet obvodu výseče kruhu nebo vytvoření grafu založeného na procentech.
Známá míra poloměru a stupně
Pokud známe poloměr kružnice a míru oblouku, pak snadno zjistíme délku tohoto oblouku. Chcete-li to provést, musíte použít vzorec:
Délka oblouku = (míra stupňů / 360) * 2 * π * poloměr
- Míra stupně je úhel, který určuje velikost oblouku;
- π (pi) je matematická konstanta, jejíž přibližná hodnota je 3.14159;
- Poloměr je vzdálenost od středu kruhu k jeho okraji.
Chcete-li zjistit délku oblouku, vydělíte míru 360, poté vynásobíte 2 * π a nakonec vynásobíte poloměrem.
Musíte však mít na paměti, že míra stupňů musí být ve stupních, nikoli v radiánech. Pokud je hodnota uvedena v radiánech, musí být převedena na stupně, protože 1 radián se rovná přibližně 57.3 stupňů.
Vzorec pro výpočet délky kruhového oblouku
Délka oblouku kruhu se vypočítá podle vzorce:
Délka oblouku = (2πr * α) / 360
- Délka oblouku — délka segmentu odpovídající měřenému oblouku kružnice
- π — matematická konstanta přibližně rovna 3,14159
- r – poloměr kruhu
- α – míra stupně oblouku
Chcete-li zjistit délku kruhového oblouku, musíte znát poloměr kruhu a míru oblouku. Poloměr je vzdálenost od středu kruhu k jeho obvodu. Míra stupně oblouku je počet stupňů, o které se oblouk odchýlí od úplného otočení kruhu, což je 360 stupňů.
Praktické aplikace a příklady
Zjištění délky kruhového oblouku se známým poloměrem a mírou stupně oblouku má aplikace v různých oblastech, včetně geometrie, fyziky, inženýrství a architektury.
Jednou praktickou aplikací tohoto vzorce je výpočet délky elektrického drátu nebo kabelu spojujícího dva body na stožáru nebo jiné podobné konstrukci.
Pokud například víme, že drát musí být natažen pod úhlem 120 stupňů a jeho vzdálenost mezi body je 20 metrů, můžeme pomocí vzorce zjistit délku kruhového oblouku a určit tak potřebnou délku drátu.
Dalším příkladem praktické aplikace je výpočet délky závodní dráhy. Při navrhování kurzu potřebují inženýři znát délku každé zatáčky a umístit kontrolní body. Znáte-li poloměr zatáčky a míru oblouku, můžete pomocí vzorce vypočítat délku oblouku a přesně určit požadovanou vzdálenost a počet kontrolních bodů na trase.