Elektrotechnika: Výpočet obvodů a výkonová bilance.
Pokud existuje obvod se známými: odpory rezistorů, elektromotorickým napětím zdrojů elektromotorického napětí a proudy zdrojů proudu a je nutné vypočítat proudy ve všech větvích tohoto obvodu, pak lze použít jakoukoli metodu výpočtu obvodů, například metodu Kirchhoffových rovnic, která je nejuniverzálnější a nejvhodnější pro výpočet jakýchkoli obvodů. Pro kontrolu správnosti výpočtu obvodu se vypočítá výkon spotřebovaný v obvodu Ppr (výkon přijímačů), vypočítá se výkon generovaný v tomto obvodu Pist (výkon zdrojů), načež se tyto dva vypočítané výkony porovnají, pokud jsou si rovny (možná s určitou chybou (tj. se liší, ale nepatrně)), pak se výkonová bilance sblížila a řešení se považuje za správné, pokud si rovny nejsou, pak se obvod přepočítá. Uvažujme obvod na obrázku 1:
Obrázek 1 – Schéma
V tomto obvodu jsou: 4 rezistory R1, R2, R3, R4 s odpory rovnými R1, R2, R3, R4 (je trochu negramotné označovat parametry prvků stejným způsobem jako samotné prvky, ale někdy je to pohodlnější); zdroj proudu J s proudem rovným J a zdroj elektromotorického napětí s napětím na něm, které se modulově rovná jeho elektromotorickému napětí rovnému E, a napětí na tomto zdroji je opačné než elektromotorické napětí tohoto zdroje (směr elektromotorického napětí zdroje elektromotorického napětí na obvodech je uveden uvnitř tohoto zdroje a směr napětí na něm je uveden vně). Ve skutečnosti zdroj elektromotorického napětí vytváří pouze elektromotorické napětí a napětí existuje na části (mající odpor) obvodu připojeného k tomuto zdroji, ale někdy je vhodné sestavit správné rovnice s ohledem na to, že na zdrojích elektromotorického napětí je napětí a na ostatních prvcích napětí a elektromotorické napětí nebrat v úvahu. Abychom mohli vypočítat obvod na obrázku 1, očíslujeme v něm uzly (počínaje od nuly), vybereme směry proudů ve všech větvích (to může být libovolné), vybereme nezávislé obrysy (nejlépe (pro metodu obrysového proudu) v jednom směru a tak, aby se neprotínaly s větvemi na obrázku):
Obrázek 2 – Schéma s pomocnými symboly
Rovnice podle prvního Kirchhoffova zákona (pravidla) se sestavují pro uzly počínaje prvním (tj. pro nultý uzel nelze rovnici podle prvního Kirchhoffova zákona (pravidla) sestavit, ale pro zbytek je nutná). Jako nulový uzel lze zvolit libovolný uzel a všechny ostatní lze libovolně očíslovat. Rovnice podle druhého Kirchhoffova zákona (pravidla) se sestavují pro obvody (v množství = počet větví – počet uzlů + 1), ve kterých není zdroj proudu a existuje alespoň jedna větev, která nepatří do jiných obvodů, a pro výpočet.
Přenesením proudů zdrojů proudu a napětí zdrojů EMF na pravou stranu rovnic je možné (nebo v principu není nutné je přenášet) vyřešit soustavu rovnic a získat proudy I1-I4. V tomto případě je však možné použít jednodušší metody pro nalezení proudů než metodu Kirchhoffovy rovnice. Lze například použít metodu smyčkového proudu. Rovnice pro metodu smyčkového proudu lze sestavit v maticové formě pro obvod na obrázku 2:
Dále, pokud všechny (i pomocné se zdroji proudu) kontury směřují jedním směrem a kontury neprotínají větve na obrázku.
Na hlavní diagonále čtvercové matice (která je vlevo) se zadávají součty odporů rezistorů zahrnutých v odpovídajících obvodech, například do buňky v prvním řádku a prvním sloupci se zadává součet odporů rezistorů prvního obvodu (obvod I11 s proudem obvodu I11), do buňky ve druhém řádku a druhém sloupci se zadává součet odporů druhého obvodu I22 (obvod I22 s proudem obvodu I22) atd. Do zbývajících buněk této matice se zadávají odpory rezistorů společných pro libovolné dva obvody se znaménkem mínus, například pokud první a druhý obvod mají společný rezistor s odporem R3 (viz obrázek 2), pak se do buňky v prvním řádku a druhém sloupci zapíše -R3 a také se zapíše do buňky ve druhém sloupci a prvním řádku. Matice s odpory se vynásobí maticí proudů obvodu. Pravá strana rovnice (2) obsahuje matici zdrojů. První řádek matice zdroje obsahuje součin proudu zdroje proudu J a odporu rezistoru R1 se znaménkem plus. Pro zápis tohoto součinu byl vybrán další obvod, jehož směr se shoduje se směrem proudu zdroje proudu, tento součin je zapsán se znaménkem plus, protože jinak by mohl být zapsán v levé části se znaménkem mínus, protože v levé části se znaménkem plus mohou být pouze součty odporů obvodů bez zdrojů proudu, ale to pouze tehdy, pokud jsou všechny obvody směrovány jedním směrem a neprotínají větve na obrázku. R1 je rezistor společný pro první obvod a obvod se zdrojem proudu. Pokud by byl zdroj proudu směrován opačným směrem, pak by měl být směr proudu obvodu J zvolen opačným směrem a pak by v prvním řádku matice zdroje byl součin J * R1 se znaménkem mínus, protože obvod J by byl směrován větví s rezistorem R1 stejným směrem jako obvod I11.
Ve druhém řádku zdrojové matice je elektromotorické síla zdroje se znaménkem mínus, protože tato elektromotorická síla je směrována opačně než proud (se zvoleným směrem) ve větvi. Rovnice touto metodou by mohly být sestaveny i jiným způsobem.
Smyčkové proudy I11 a I22 se určí řešením rovnice (2). Proudy se určí pomocí vzorců:
Pro větev s proudem I1 platí proud I1=J-I11, protože obvod J tuto větev vlastní a směr tohoto obvodu se shoduje s proudem I1, proto má J znaménko plus, obvod I11 tuto větev vlastní a směr tohoto obvodu se neshoduje s proudem I1, proto má I11 znaménko mínus. Obvod I11 vlastní pouze jednu větev s proudem I2 a směr tohoto proudu se shoduje se směrem obvodu I11, proto I2=+I11. Pro ostatní proudy je to podobné.
Pro nalezení proudů můžete také použít metodu uzlového potenciálu (pokud neexistují žádné větve s jedním zdrojem EMF bez rezistoru (nebo jiného prvku s odporem)):
Na hlavní diagonále čtvercové matice jsou zapsány součty vodivostí větví připojených k odpovídajícím uzlům, například v buňce v prvním řádku v prvním sloupci je součet vodivostí připojených k prvnímu uzlu. K prvnímu uzlu jsou připojeny tři větve, vodivost větve se zdrojem proudu je nulová, takže se nezapisuje, vodivost větve s rezistorem R1 je 1/R1 (protože vodivost je inverzní hodnota odporu), vodivost větve s rezistorem R2 je 1/R2. V buňce v druhém řádku ve druhém sloupci je zapsán součet vodivostí připojených k druhému uzlu. Ve zbývajících buňkách této matice jsou zapsány vodivosti větví mezi libovolnými dvěma uzly kromě nuly se znaménkem mínus. Vodivost mezi prvním a druhým uzlem je 1/R2, takže v buňce v druhém řádku a prvním sloupci je zapsáno -1/R2 a v buňce v prvním řádku a druhém sloupci je zapsáno -1/R2. Pokud mezi uzly není vodivost, pak se do odpovídající buňky dopíše nula. Metoda smyčkového proudu a metoda uzlového potenciálu jsou podobné. Matice s vodivostmi se vynásobí maticí s uzlovými potenciály. Na pravé straně rovnice (4) je jednosloupcová matice zdrojů. První řádek zdrojové matice odpovídá prvnímu uzlu, druhý druhému atd. První řádek zdrojové matice obsahuje proud J zdroje proudu J se znaménkem plus, protože proud J zdroje J směřuje do prvního uzlu (pokud od pak se znaménkem “-“). Druhý řádek zdrojové matice obsahuje součin elektromotorického napětí E zdroje E a elektromotorického napětí vodivosti větve s tímto zdrojem se znaménkem plus, protože toto elektromotorické napětí směřuje do druhého uzlu (pokud od pak se znaménkem “-“). Pokud je k uzlu připojeno více zdrojů, pak se všechny s odpovídajícími znaménky zapíší do řádku odpovídajícího tomuto uzlu. Potenciály uzlů se najdou řešením rovnice (4). Proudy se najdou podle vzorců:
I1= φ1/R1, protože proud na rezistoru R1 se rovná poměru napětí na tomto rezistoru k odporu tohoto rezistoru a napětí na tomto rezistoru se rovná rozdílu potenciálů na tomto rezistoru, protože proud I1 směřuje (směr je zvolen) z uzlu 1 do uzlu 0, pak napětí na tomto rezistoru s ohledem na směr proudu se zjistí odečtením potenciálu uzlu 0 od potenciálu uzlu 1, protože potenciál uzlu 0 je nulový, pak se nezapíše a ukáže se, že napětí na rezistoru R1 s ohledem na směr proudu se rovná φ1. I4=(E- φ2)/R4, protože proud na rezistoru R4 se rovná poměru napětí na tomto rezistoru k odporu tohoto rezistoru a napětí na tomto rezistoru se dle druhého Kirchhoffova zákona rovná E-( φ2- φ0).
Například vyřešme rovnici (2) a předpokládejme, že:
J = 1
R1 = 1
R2 = 1
R3 = 1
R4 = 1
E = 1
Lze jej vyřešit například Cramerovou metodou. Pro jeho vyřešení Cramerovou metodou najdeme determinant matice s odpory:
Najděme determinant matice s odpory, ve které je první sloupec nahrazen sloupcem zdrojové matice:
Najděme determinant matice s odpory, ve které je druhý sloupec nahrazen sloupcem zdrojové matice:
Najděme konturové proudy:
Pro kontrolu správnosti výpočtu obvodu (nalezení proudů) vypočítáme výkon spotřebovaný přijímači energie (mohou to být rezistory nebo zdroje (v tomto případě pouze rezistory)):
Výkon (spotřebičů a zdrojů) se rovná součinu proudu protékajícího prvkem (spotřebičem nebo zdrojem) a napětí na něm. Druhá mocnina proudu je proud vynásobený proudem, pokud se proud vynásobí odporem, získá se napětí, proto například (I1^2)*R1 je výkon spotřebovaný rezistorem R1.
U rezistorů jsou všechny výkony kladné, směry proudů se neberou v úvahu.
Vypočítáme si výkon ze zdrojů:
Pokud by napětí na větvi se zdrojem proudu směřovalo podle proudu (jehož směr je naznačen šipkami ve zdroji) zdroje proudu, pak by se výkon zdroje proudu zapsal do rovnice (12) se znaménkem mínus a pak by se předpokládalo, že zdroj spotřebovává energii, nebo by se tento výkon zapsal do rovnice (11) se znaménkem plus. Pokud by elektromotorické síla zdroje směřovala ve směru opačném k proudu (jehož směr je zvolen a na obrázku 2 znázorněn šipkou) v této větvi, pak by se výkon tohoto zdroje zapsal do rovnice (12) se znaménkem mínus nebo do rovnice (11) se znaménkem plus. Znaménka výkonů zapsaných v rovnicích pro ověření jsou určena směry proudu zvolenými na samém začátku. Protože výkony zdrojů jsou stejné jako výkony přijímačů, lze předpokládat, že výkonová bilance konvergovala a výpočet obvodu je proveden správně.
Pro výpočet proudů I1-I4 v obvodu na obrázku 2 s ohledem na směry proudů (jako na obrázku 2) můžete použít program:
Pokud si všimnete chyby, napište o ní prosím do komentářů.