Jak správně uvést průměrnou hodnotu?

Jedna z částí deskriptivní statistiky je věnována seznámení s charakteristikami číselného souboru: minimální hodnota, maximální hodnota, rozsah, aritmetický průměr a medián. Studenti se musí naučit je identifikovat pro sadu čísel daných seznamem, tabulkou nebo bodovým grafem.

Tento materiál jsme studovali během tří lekcí. Během prvních dvou byly zavedeny nové pojmy a řešeny problémy z učebnice (autoři Yu.N. Tyurin, A.A. Makarov, I.R. Vysockij, I.V. Yashchenko). Například. Najděte největší a nejmenší hodnotu, rozsah, průměr a medián množiny čísel: 12; 7; 25; 3; 19; 15. (Odpověď: 25; 3; 22; 13,5; 13,5).

Je však přirozené žákům ukázat, proč se to všechno učíme. Ve třetí hodině jsme řešili úlohy, ve kterých jsme potřebovali vybrat průměr, který nejlépe odráží vlastnosti dané množiny čísel v souladu s jejich povahou a požadavky úlohy. Některé problémy neříkají, jakou charakteristiku hledat, proto, abyste mohli odpovědět na otázku problému, musíte vyzkoušet různé průměry pro daný úkol a zjistit, který z nich je vhodnější než ostatní. V tomto případě není odpovědí na problém číslo, ale název vhodné charakteristiky. V jiných úkolech je potřeba získané výsledky správně interpretovat, kriticky s nimi zacházet a snažit se najít zdravé zrno i tam, kde na první pohled „vše bylo uděláno špatně“. A konečně je navržen třetí typ problému, ve kterém povaha dat klade určité dodatečné požadavky na zjištěnou hodnotu průměru: musí to být například celé číslo.

Pokračujeme tak nejen v upevňování dovednosti počítání průměrů, ale také prokazujeme možnost aplikace toho, co jsme se naučili, v reálných situacích. Pro studenty je skutečně důležitým faktorem osvojování si nových věcí vědomí potřeby poznání tohoto nového, tedy nejen как najít, ale také proč nalézt.

Tento článek se skládá ze dvou částí. První popisuje nejčastěji používané průměry. Druhá část nabízí soubor problémů k řešení ve třídě a k samostatné práci žáků.

Seznámení s průměrem

Nejvyšší a nejnižší hodnoty

Slova „minimální“, „maximální“, „menší“, „větší“ jsou studentům intuitivně jasná, takže první dvě charakteristiky: největší и nejmenší hodnotu Nechme to nedefinované. Řekněme, že v množině uspořádané vzestupně je nejmenší číslo první a největší číslo poslední.

Příručka obsahuje úkoly, ve kterých musíte najít největší nebo nejmenší hodnotu mezi čísly uvedenými v tabulce. K nim přidáme úlohy s jinou formou prezentace dat – formou bodového diagramu.

Cvičení. Existuje bodový graf 1 ukazující vztah mezi výškou a hmotností 15 zkoumaných mladých mužů. Najděte výšku nejvyššího a výšku nejnižšího mladého muže (tj. určete minimální a maximální hodnoty množiny čísel dané rozptylovým diagramem).

K tomu použijeme následující: minimální růst odpovídá úsečce umístěného bodu nalevo od ostatnícha maximum je úsečka extrémní bod vpravo. Dostáváme:

min ≈ 167 cm, max ≈ 181 cm.

Zajímavé je, že zbývajících 13 bodů se „diskuze“ vůbec neúčastní. Lze je vymazat – výsledek se nezmění (viz diagram 2).

Druhým rysem získaného výsledku je, že na rozdíl od práce s tabulkou nejsou data získaná pomocí grafů a diagramů přesná, ale přibližná, to znamená, že se odpovědi mohou lišit.

Podobně nalezneme minimální a maximální hodnoty hmotnosti jako souřadnice ordinát dno a ona sama horní body.

S jakým typem prezentace dat je výhodnější pracovat?

Výhodou tabulky je přesnost získaných výsledků, ale práce s ní vyžaduje soustředění na dlouho: hledané číslo nelze přehlédnout, ale může spadat do kteréhokoli zkoumaného sloupce. A pokud tabulka neobsahuje 15 čísel, ale 5000, pak se tento argument stává rozhodujícím ve prospěch vizuální prezentace dat. Poskytuje méně přesné výsledky, ale takové informace jsou zpracovávány v sekundách. I když diagram obsahuje 5000 bodů, budou nás zajímat pouze dva extrémní a na zbytek se ani nepodíváme.

rozsah

Na rozdíl od předchozích konceptů rozsah je charakteristika souboru, která je studentům neznámá. Ukazuje rozsah souboru podél číselné osy, míru jeho rozptylu.

Definice Rozsah čísel (R) je rozdíl mezi největším a nejmenším číslem v množině.

Například v předchozí úloze je rozsah: R = 181 – 167 = 14 cm.

Co ukazuje rozsah hodnot?

Porovnejme diagramy 3 a 4:

Diagram 3 Diagram 4

Body zobrazené v grafu 3 jsou blíže u sebe, takže maximální a minimální hodnoty se od sebe liší méně než v grafu 4. Rozsah tedy ukazuje, zda se nastavená čísla od sebe velmi liší.

Malý rozsah ukazuje, že zkoumaná hodnota nabývala téměř stejných hodnot. Velký rozsah ukazuje, že určitá veličina nabývá výrazně jiných hodnot, tzn nestabilita. Někdy velký rozsah indikuje přítomnost hrubé chyby měření, že jedno z čísel bylo do seznamu zařazeno náhodou.

Pokud vypočítáme poloviční součet nejmenší a největší hodnoty množiny a označíme ji с, a je označena polovina rozsahu, pak lze tvrdit, že všechna čísla v množině jsou obsažena v intervalu Na každodenní úrovni rozsah (nebo spíše poloviční rozsah) poskytuje informace o přesnosti informací: vzdálenost z domova do chaty (100 ± 5) km, cena chleba (14 ± 2) r. atd.

Aritmetický průměr

Definice Aritmetický průměr několika čísel () je podíl dělení součtu těchto čísel počtem čísel.

Například aritmetický průměr čísel je 4; 6; 11 je číslo

Často se aritmetický průměr nazývá jednoduše „průměr“ kvůli jeho největší popularitě. Hovoří o průměrném skóre vysvědčení, průměrné roční spotřebě ovoce obyvatelstvem. „Spotřební koš“ pro určitou vrstvu občanů je vypočítán na základě průměrných ukazatelů.

Zvažte následující příklad. Na matematické olympiádě měli studenti vyřešit pět úloh za 4 body. Protokol uvádí celkový počet bodů každého z osmi účastníků této olympiády:

12; 14; 14; 16; 17; 18; 19; 200.

Pro urychlení výpočtu je k dispozici automatizovaný systém zpracování dat, který zjistí aritmetický průměr všech zadaných čísel. Jaké bylo průměrné skóre účastníků olympiády?

Tato sada má průměr 38,75. Žádný z účastníků však nedokázal získat tento počet bodů. Sedm z daných osmi čísel je navíc mnohem menší než ona. Všechny hodnoty této množiny, kromě té úplně vpravo, docela těsně spadají do intervalu [12; 19], ale 38,75 do něj nespadá. To vše naznačuje, že výsledný aritmetický průměr nejenže nevyjadřuje rysy dané množiny čísel, ale obecně odporuje zdravému rozumu. To znamená, že chyba se vloudila buď do podmínky, nebo do řešení! Podívejme se znovu na tato čísla. Nyní, když jsme obdrželi jasně nesmyslný výsledek, můžeme být k podmínce kritičtější: prvních sedm čísel je zcela reálných, ale to poslední. Kde se to vzalo?! Zřejmě se do tohoto seznamu dostal náhodou: možná v důsledku překlepu. Odhalení chyby ve stavu nás však nezbavuje nutnosti dokončit řešení. Můžete samozřejmě komisi doporučit, aby výsledky studentů znovu přepsala a zadala čísla z nového, „správného“ protokolu. Kde je ale záruka, že v něm zase nebude překlep?

Když jsou všechny výsledky více či méně nahromaděné na číselné ose, snad kromě několika nespolehlivých hodnot, lze výsledky analyzovat! Dostatečně vysoká přesnost získaných hodnot bude zaručena použitím jiných průměrů – zejména, snížený průměr. Chcete-li ji najít, nejprve seřaďte sadu ve vzestupném pořadí a poté vyřaďte stejný malý počet čísel zleva a zprava. V tomto případě se „odlehlé hodnoty“ (neboli chyby pozorování) dalších výpočtů neúčastní. Aritmetický průměr výsledného „oříznutého“ souboru se zjistí obvyklým způsobem. Toto je oříznutý průměr původní sady.

Vraťme se k úkolu. Pokud na každé straně vyřadíme jedno číslo, tedy čísla 12 a 200, pak zbývající sada šesti čísel má průměr

Toto je ořezaný průměr. Poměrně dobře vyjadřuje skutečný průměrný počet bodů dosažených mladými matematiky.

Určitou analogii s hledáním ořezaného průměru lze vidět v pravidlech posuzování v mnoha sportech. Například při závodech ve skocích na lyžích posuzuje techniku ​​každého skoku 5 rozhodčích. Pro získání objektivních odhadů jsou dva z nich – nejvyšší a nejnižší – vyřazeny a pro zbývající tři se zjistí součet. Tento přístup neumožňuje rozhodčím zvyšovat skóre svých krajanů a sportovcům ztěžuje nespravedlivou cestu k medailím.

Medián

Medián číselná množina je číslo, které rozděluje tuto množinu na dvě stejné části.

Pokud je sada objednána a obsahuje lichý počet čísel (2n + 1), pak je medián uprostřed této množiny, na (n + 1) místo. Pokud se objednaná sada skládá ze sudého počtu čísel (2n), pak je medián libovolné číslo umístěné mezi dvěma čísly, která jsou uprostřed (pod čísly n и n + 1). Obvykle se bere jejich poloviční součet.

Sada obsahuje 12; 14; 14; 16; 17; 18; 19; 200 Medián je libovolné číslo z intervalu (16; 17), například 16,5. Připomeňme, že oříznutý průměr byl 16,3. Zdá se!

Pojďme k řešení problémů.

Počítání průměrů

1. O výborném studentovi. Vynikající student, Kolya, měl známky z matematiky „5“, „5“, „5“, „5“.
A najednou na konci čtvrtletí dostal „2“. Ví, že učitel matematiky stanoví čtvrtinu známky jako průměr všech známek, které student má, a neuznává opravné zkoušky. Jaký průměr by byl pro Kolju výhodnější, pokud přirozeně doufá v A ve čtvrtletí?

Řešení. 1. Zkusme začít s tak velmi běžnou metodou stanovení čtvrtletních značek, jako je hledání aritmetický průměr:

Každý učitel samozřejmě zaokrouhlí tento výsledek dolů a dá konečnou známku „4“. To znamená, že Kolja není s tímto průměrem spokojen.

Vidíme, že jedna neúspěšná odpověď za bod snížila čtvrtletní známku. Koneckonců, předtím byl aritmetický průměr 5.

2. Další průměr, a víc než jeden, může pomoci splnit Koljův sen! Například, pokud jako středoškolský učitel Kolja vezme medián nebo ořezaný průměr, pak je ve čtvrti Kolja zaručena pětka:

— medián souboru 2, 5, 5, 5, 5 je 5;

— oříznutý průměr množiny 5, 5, 5 je roven

Odpověď: střední nebo oříznutý průměr.

2. O lodi. Rybáři jdou rybařit na jezero. Ne všude ale mají zaručený dobrý úlovek. K nalezení lovného místa se rozhodli použít člun s motorem. Člun má motor, který lze výškově nastavit, zvednout nebo potopit hlouběji. Je známo, že motor pracuje spolehlivě a při provozu se nepřehřívá, pokud je spuštěn co nejníže do hlubin vody. Pak ale hrozí jeho zachycení na dně nádrže. Motor je nastaven na požadovanou výšku na břehu ve vodě, hloubku ponoření nelze měnit. Jaké informace o hloubce vody v jezeře by měli mít rybáři, aby nedošlo k poškození motoru na dně?

Řešení. Rybáři by měli zkontrolovat hloubku jezera podél zamýšlené trasy. Poté z výsledné sady čísel musíte najít minimální hodnota. Zajistí jim úspěšný průchod dalšími, hlubšími oblastmi.

Odpověď: minimální hodnota.

3. Knihovna. Je známo, že dětská knihovna vydává průměrně 180 knih denně. Kolik knih vydá knihovna v průměru za týden? za měsíc? za rok?

rozhodnutí. V tomto problému znamená průměr průměrný. Vzhledem k tomu, že knihovna je otevřena 6 dní v týdnu, znamená to, že vydává cca 180 6 = 1080 knih týdně. Za 26 pracovních dnů v měsíci vydá 180 26 = 4700 knih. Za 12 měsíců bude vydání 4680 12 = 56 000 knih.

Odpověď: 1080 knih, asi 4700 knih, asi 56 000 knih.

Při řešení tohoto problému je vhodné prodiskutovat otázku správnosti získaných výsledků. Za prvé, z podmínky není zřejmé, za jaké období byl denní průměr získán. Pokud byla pozorování prováděna pouze jeden týden, pak by se s vypočítanými hodnotami mělo zacházet velmi skepticky. Pro získání přesnějších výsledků bylo nutné provést delší pozorování srovnatelné v délce trvání s požadovaným obdobím. A za druhé, pozorovatelé možná „přišli“ v týdnu „knižního boomu“, pak budou výsledky rozložené do měsíce a ještě více do roku jednoznačně nadhodnoceny. Je možný i opačný obrázek: byli jsme informováni o výsledcích získaných během letních prázdnin, což znamená, že výsledky výpočtu budou podhodnoceny. Jinými slovy, se získanými čísly je třeba zacházet velmi opatrně, pokud není možné objasnit, jak byla studie provedena a za jaké období byl vypočten průměr 180 knih.

Tento příklad ukazuje, že pro získání spolehlivých výsledků výzkumu je třeba splnit určité podmínky, dodržovat určitá pravidla, aby se získaným závěrům dalo věřit.

4. Hod kladivem. Sportovní klub by měl organizovat soutěže v hodu kladivem mezi sportovci s různým sportovním zázemím a různými úspěchy. K tomu musí pozvat potřebný počet rozhodčích do vrhačského sektoru. Rozhodčí, se kterými klub spolupracuje, přesně označí místo pádu kladiva, pokud nejsou dále než čtyři metry od něj. Sportovní klub si může vyžádat jakékoli informace o dosavadních výkonech pozvaných sportovců. Jaké informace by měli mít organizátoři, aby mohli pozvat požadovaný počet rozhodčích?

rozhodnutí. Musíte se zeptat na předchozí výsledky hodu kladivem všech účastníků a najít maximální, minimální výsledky a rozsah. Znalost úhlu sektoru pro házení a maximum Výsledkem je, že můžete vypočítat délku oblouku, podél kterého by měli být umístěni rozhodčí každých 8 m.

Počet takových řádků závisí na rozsah výsledky. Pokud se ukáže, že je to méně než 8 m, pak mohou rozhodčí stát v jedné řadě. Pokud se ukáže, že rozsah je větší, pak aby bylo možné úspěšně zaznamenat vzdálenější i bližší výsledky, musí být rozhodčí umístěni v několika řadách každých 8 m.

Odpověď: maximální výsledek, rozsah.

5. Dovolená na jihu. Pro úspěšnou inzerci dovolené na Kypru si cestovní kancelář vyžádala údaje o počasí na ostrově za posledních 10 let. Ukázalo se, že v tomto období bylo pouze 216 zatažených nebo deštivých dnů, které byly rovnoměrně rozloženy do požadovaných let. Kolik dní v roce svítí slunce na ostrově Kypr?

Řešení. Za 10 let bylo pozorováno 3652 – 216 = 3436 slunečných dnů. To znamená, že průměr za jeden rok je 343,6 dne. Vzhledem k tomu, že do odpovědi potřebujete napsat celý počet dní, můžete zaokrouhlit na celá čísla nebo dokonce na desítky: zaokrouhlená čísla vypadají v reklamě lépe.

Odpověď: asi 340 dní.

Problémy řešit samostatně

1. a) Chtějí postavit most přes řeku. Je známo, že hladina vody v řece se v průběhu roku mění: na jaře při tání sněhu stoupá a v suchém létě klesá. Jaké vlastnosti hladiny v řece je třeba vzít v úvahu, aby byl postavený most nad vodou?

b) Média nás pravidelně informují o přírodních katastrofách, v jejichž důsledku se řeky přetékající vodou vylévají z břehů a dokonce zaplavují ulice měst. Když chápeme možnost takové přírodní katastrofy, nebylo by moudřejší postavit most (a zároveň vysokou hráz) tak vysoko, jak je to technicky možné? Koneckonců, ztráty na životech jsou nesrovnatelné s jakýmikoli náklady na materiál, aby se zabránilo katastrofě.

2. Během hodiny učitel zavolá průměrně 5 lidí ze třídy a každému udělí známku za ústní odpověď. Kolik ústních hodnocení dá tato učitelka týdně, pokud v této třídě vyučuje 5 lekcí týdně? Na čtvrtinu?

3. Závodu na 800 m se zúčastnilo 19 sportovců rozdělených do skupin startujících v různé časy. Jak rozhodčí určili vítěze závodu?

4. Během zimních prázdnin v jedné ze škol ve městě Murmansk paní učitelka zadala dětem úkol: sledovat počasí a zjistit průměrnou teplotu. Každý den po dobu deseti dnů v 15:XNUMX Natasha zaznamenávala údaje z teploměru:

–13, –10, –15, 11, –9, –9, –11, –12, –10, –11.

A pak jsem vypočítal aritmetický průměr a dostal -8,9.

a) Kolísala teplota v období pozorování skutečně kolem tohoto čísla?
b) Proč je většina hodnot (9 z 10) nižší než zjištěný průměr?
c) Jak opravit odpověď, pokud je nesprávná (přirozeně nemůžete pozorování znovu opakovat)?

5. Existují údaje o výkonu v chemii 8 „A“ a 8 „B“: o počtu studentů, kteří obdrželi jednu nebo druhou čtvrtinu známky. Údaje se zapisují do tabulky: